Berbicara tentang himpunan, maka kita tidak perlu jauh - jauh untuk membayangkannya, karena di kehidupan maupun di lingkungan sekitar kita banyak sekali segala sesuatu yang berkaitan dengan data (objek) yang dikumpulkan berdasarkan kriteria tertentu. Kumpulan data inilah yang nantinya akan didefinisikan sebagai himpunan. Disamping itu, himpunan juga memiliki beberapa jenis.
Himpunan Weldebis
Himpunan (set) merupakan sekumpulan objek-objek yang berbeda yang dapat didefinisikan dengan jelas. Objek di dalam himpunan dinamakan unsur atau anggota himpunan. Keanggotaan suatu himpunan dinyatakan oleh notasi '∈'.
Contoh 1:
- A = {x, y, z}
- x ∈ A : x merupakan anggota himpunan A.
- w ∉ A : w bukan merupakan anggota himpunan A.
Ada beberapa cara dalam menyatakan himpunan, yaitu:
a. Mencacahkan anggotanya (enumerasi)
Dengan cara ini, himpunan tersebut dinyatakan dengan menyebutkan semua anggota himpunannya di dalam suatu kurung kurawal.
Contoh 2:
- Himpunan empat bilangan ganjil pertama: A = {1, 3, 5, 7}.
- Himpunan lima bilangan prima pertama: B = {2, 3, 5, 7, 11}.
- Himpunan bilangan asli yang kurang dari 50 : C = {1, 2, ..., 50}
- Himpunan bilangan bulat ditulis sebagai {..., -2, -1, 0, 1, 2, ...}.
b. Menggunakan simbol standar (baku)
Suatu himpunan dapat dinyatakan dalam suatu simbol standar (baku) yang telah diketahui secara umum oleh masyarakat (ilmiah).
Contoh 3:
- N = himpunan bilangan alami (natural) = { 1, 2, ... }
- Z = himpunan bilangan bulat = { ..., -2, -1, 0, 1, 2, ... }
- Q = himpunan bilangan rasional
- R = himpunan bilangan riil
- C = himpunan bilangan kompleks
Himpunan yang universal (semesta pembicaraan) dinotasikan dengan U.
Contoh 4:
Misalkan U = {1, 2, 3, 4, 5} dan A = {1, 3, 5} merupakan himpunan bagian dari U
c. Menuliskan kriteria (syarat) keanggotaan himpunan
Suatu himpunan dapat dinyatakan dengan cara menuliskan kriteria (syarat) keanggotaan himpunan tersebut. Himpunan ini dinotasinya sebagai berikut:
{ x | syarat yang harus dipenuhi oleh x }
Contoh 5:
(i) A adalah himpunan bilangan asli yang kecil dari 10, A = { x | x ≤ 10 dan x ∈ N } atau A = { x ∈ N | x ≤ 10 } yang ekivalen dengan A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
(ii) M = { x | x adalah mahasiswa yang mengambil kuliah matematika diskrit}, atau M = { x adalah mahasiswa | ia mengambil kuliah matematika diskrit}
d. Menggunakan Diagram Venn
Suatu himpunan dapat dinyatakan dengan cara menuliskan anggotanya dalam suatu gambar (diagram) yang dinamakan diagram venn.
Contoh 6:
Misalkan U = {1, 2, ..., 7, 8}, A = {1, 2, 3, 5} dan B = {2, 5, 6, 8}.
Diagram Venn:
Diagram Venn
Terkait dengan masalah keanggotaan, suatu himpunan dapat dinyatakan sebagai anggota himpunan lain.
Contoh 7:
a. Misalkan, M = { mahasiswa STMIK EL RAHMA }
- M1 = { mahasiswa anggota himael}
- M2 = { mahasiswa anggota HMTI}
- M3 = { mahasiswa anggota HMSI}
Dengan demikian, M = { M1, M2, M3 }
b. Bila P1 = {x, y}, P2 = { {x, y} } atau P2={P1},
- sementara itu, P3 = {{{x, y}}}, maka x ∈ P1 dan y ∉ P2,f
- sehingga P1 ∈ P2 , sedangkan P1 ∉ P3, tetapi P2 ∈ P3
Jumlah unsur dalam suatu himpunan dinamakan kardinalitas dari himpunan tersebut. Misalkan, untuk menyatakan kardinalitas himpunan A ditulis dengan notasi:
n(A) atau |A|
Contoh 8:
- B = {x | x merupakan bilangan prima yang lebih kecil dari 10},
- atau B = {2, 3, 5, 7} maka |B| = 4
- A = {a, {a}, {{a}} }, maka |A| = 3
Jika suatu himpunan tidak mempunyai anggota, dengan kata lain dengan kardinalitas himpunan tersebut sama dengan nol maka himpunan tersebut dinamakan himpunan kosong (null set). Notasi dari suatu himpunan kosong adalah : ∅ atau {}.
Contoh 9:
- P = {Mahasiswa Teknik Industri STT Telkom yang pernah ke Mars}, maka n(P)= 0, Jadi P= ∅
- A = {x | akar persamaan kuadrat x2 + 1 = 0 dan x ∈ R}, maka n(A) = 0, Jadi A = {}
- B = {{ }} dapat juga ditulis sebagai B = {∅}, Jadi B bukan himpunan kosong karena ia memuat satu unsur yaitu himpunan kosong.
Himpunan A dikatakan himpunan bagian (subset) dari himpunan B jika dan hanya jika setiap unsur A merupakan unsur dari B. Dalam hal ini, B dikatakan superset dari A. Notasi himpunan bagian: A ⊆ B atau A ⊂ B
Jika digambarkan dalam bentuk diagram Venn himpunan bagian tersebut menjadi:
Diagram venn himpunan bagian
Contoh 10:
- (i) N ⊆ Z ⊆ R ⊆ C
- (ii) {2, 3, 5} ⊆ {2, 3, 5}
Untuk setiap himpunan A berlaku hal-hal sebagai berikut:
- (a) A adalah himpunan bagian dari A itu sendiri (yaitu, A ⊆ A).
- (b) Himpunan kosong merupakan himpunan bagian dari A ( ∅ ⊆ A).
- (c) Jika A ⊆ B dan B ⊆ C, maka A ⊆ C
∅ ⊆ A dan A ⊆ A, maka ∅ dan A disebut himpunan bagian tak sebenarnya (improper subset) dari himpunan A. Pernyataan A ⊆ B berbeda dengan A ⊂ B : A ⊂ B : A adalah himpunan bagian dari B tetapi A ≠ B. Yang demikian, A merupakan himpunan bagian sebenarnya (proper subset) dari B.
Contoh 11:
Misalkan A = {1, 2, 3}.
{1} dan {2, 3} merupakan proper subset dari A.
Himpunan kuasa (power set) dari himpunan A merupakan suatu himpunan yang unsur-unsurnya merupakan semua himpunan bagian dari A, termasuk himpunan kosong dan himpunan A sendiri. Himpunan kuasa dinotasikan oleh P(A). Jumlah anggota (kardinal) dari suatu himpunan kuasa bergantung pada kardinal himpunan asal. Misalkan, kardinalitas himpunan A adalah m, maka |P(A)| = 2m.
Contoh 12:
Jika A = { x, y }, maka P(A) = { ∅, { x }, { y }, { x, y }}
Contoh 13:
Himpunan kuasa dari himpunan kosong adalah P(∅) = {∅}, sementara itu himpunan kuasa dari himpunan {∅} adalah P({∅}) = {∅, {∅}}.
Pernyataan A ⊆ B digunakan untuk menyatakan bahwa A adalah himpunan bagian (subset) dari B yang memungkinkan A = B.
Dua buah himpunan dikatakan sama jika memenuhi kondisi berikut:
- A = B jika dan hanya jika setiap unsur A merupakan unsur B dan sebaliknya setiap unsur B merupakan unsur A.
- Untuk menyatakan A = B, yang perlu dibuktikan adalah A adalah himpunan bagian dari B dan B merupakan himpunan bagian dari A. Jika tidak demikian, maka A ≠ B. atau A = B <=> A ⊆ B dan B ⊆ A
Contoh 14:
- Jika A = { 0, 1 } dan B = { x | x (x -- 1) = 0 }, maka A = B
- Jika A = { 3, 5, 8, 5 } dan B = {5, 3, 8 }, maka A = B
- Jika A = { 3, 5, 8, 5 } dan B = {3, 8}, maka A ≠ B
Untuk tiga buah himpunan, A, B, dan C berlaku aksioma berikut:
- (a) A = A, B = B, dan C = C
- (b) Jika A = B, maka B = A
- (c) Jika A = B dan B = C, maka A = C
Dua buah himpunan dikatakan ekivalen jika masing-masing mempunyai kardinalitas yang sama. Misalkan, himpunan A adalah ekivalen dengan himpunan B berarti kardinal dari himpunan A dan himpunan B adalah sama, notasi yang digunakan adalah : A ~ B
Contoh 15:
Misalkan A = { 2, 3, 5, 7 } dan B = { a, b, c, d }, maka A ~ B sebab |A| = |B| = 4
Dua himpunan A dan B dikatakan saling lepas (disjoint) jika keduanya tidak memiliki unsur yang sama. Notasi yang digunakan adalah A // B . Jika dinyatakan dalam bentuk diagram Venn adalah sebagai berikut:
Himpunan Disjoin
Contoh 16:
Jika A = { x | x ∈ N, x < 10 } dan B = { 11, 12, 13, 14, 15 }, maka A // B.
