Ada beberapa operasi himpunan yang perlu diketahui, yaitu : irisan , gabungan, komplemen, selisih dan beda setangkup.
Mengenal Operasi Himpunan
1. Irisan (intersection)
Irisan antara dua buah himpunan dinotasikan oleh tanda ‘∩’. Misalkan A dan B adalah himpunan yang tidak saling lepas, maka A ∩ B = { x | x ∈ A dan x ∈ B }
Jika dinyatakan dalam bentuk diagram Venn adalah:
irisan (intersection)
Contoh irisan:
- Misalkan A = {2, 3, 5, 7, 11} dan B = {3, 6, 9, 12}, maka A ∩ B = {3}
- Misalkan A adalah himpunan mahasiswi TI STT Telkom dan B merupakan himpunan wanita lanjut usia (50 tahun ke atas), maka A ∩ B = ∅.
Hal ini berarti A dan B adalah saling lepas atau A // B.
2. Gabungan (union)
Gabungan antara dua buah himpunan dinotasikan oleh tanda ‘∪’. Misalkan A dan B adalah himpunan, maka A ∪ B = { x | x ∈ A atau x ∈ B }
Union
Jika dinyatakan dalam bentuk diagram Venn adalah:
Contoh union:
- Jika A = { 2, 3, 5, 7} dan B = { 1, 2, 3, 4, 5 }, maka A ∪ B = { 1, 2, 3, 4, 5, 7}
- A ∪ ∅ = A
3. Komplemen (complement)
Komplemen dari suatu himpunan merupakan unsur -unsur yang ada pada himpunan universal (semesta pembicaraan ) kecuali anggota himpunan tersebut. Misalkan A merupakan himpunan yang berada pada semesta pembicaraan U, maka komplemen dari himpunan A dinotasikan oleh:
Ā = { x | x ∈ U dan x ∉ A }
Jika dinyatakan dalam bentuk diagram Venn adalah:
Komplemen
Contoh komplemen:
- Misalkan U = { 1, 2, 3, …, 9 },
- jika A = {1, 3, 7, 9}, maka Ā = {2, 4, 5, 6, 8}
- jika A = { x ∈ U | x habis dibagi dua }, maka A= { 1, 3, 5, 7, 9 }
Contoh komplemen:
- A = himpunan mahasiswa STT Telkom
- B = himpunan mahasiswa yang tinggal di Asrama
- C = himpunan mahasiswa angkatan 2004
- D = himpunan mahasiswa yang mengambil matematika diskrit
- E = himpunan mahasiswa yang membawa motor untuk pergi ke kampus
a. Pernyataan
“Semua mahasiswa STT Telkom angkatan 2004 yang membawa motor untuk pergi ke kampus” dapat dinyatakan dalam notasi operasi himpunan sebagai berikut:
(A ∩ C) ∩ E
b. Pernyataan
“Semua mahasiswa STT Telkom yang tinggal di asrama dan tidak mengambil matematika diskrit” dapat dinyatakan dalam notasi operasi himpunan sebagai berikut :
A ∩ B ∩ D
c. Pernyataan
“semua mahasiswa angkatan 2004 yang tidak tinggal di asrama atau tidak membawa motor untuk pergi ke kampus” dapat dinyatakan dalam notasi operasi himpunan sebagai berikut :
C ∩ (B ∪ E)
4. Selisih (difference)
Selisih antara dua buah himpunan dinotasikan oleh tanda ‘– ’. Misalkan A dan B adalah himpunan, maka selisih A dan B dinotasikan oleh A – B = { x | x ∈ A dan x ∉ B } = A ∩ B
Selisih
Contoh selisih:
Jika A = { 1, 2, 3, …, 10 } dan B = { 2, 3, 5, 7}, maka A – B = { 1, 4, 6, 8, 9 } dan B – A = ∅
5. Beda Setangkup (Symmetric Difference)
Beda setangkup antara dua buah himpunan dinotasikan oleh tanda ‘⊕’. Misalkan A dan B adalah himpunan, maka beda setangkup antara A dan B dinotasikan oleh:
A ⊕ B = (A ∪ B) – (A ∩ B)
= (A – B) ∪ (B – A)
Jika dinyatakan dalam bentuk diagram Venn adalah:
Symmetric Difference
Contoh beda setangkup:
Jika A = { 2, 3, 5, 7} dan B = { 1, 2, 3, 4, 5 }, maka A ⊕ B = { 1, 4, 7 }
Beda setangkup memenuhi sifat-sifat berikut:
A ⊕ B = B ⊕ A (hukum komutatif)
(A ⊕ B ) ⊕ C = A ⊕ (B ⊕ C ) (hukum asosiatif)
6. Perkalian Kartesian (cartesian product)
Perkalian kartesian antara dua buah himpunan dinotasikan oleh tanda ‘×’. Misalkan A dan B adalah himpunan, maka perkalian kartesian antara A dan B dinotasikan oleh:
A × B = {(a, b) | a ∈ A dan b ∈ B}
Contoh perkalian kartesian:
- Misalkan C = {1, 2, 3}, dan D = { a, b }, maka C × D = { (1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b) }
- Misalkan A = B = himpunan semua bilangan riil, maka A × B = himpunan semua titik di bidang datar
Misalkan ada dua himpunan dengan kardinalitas berhingga, maka kardinalitas himpunan hasil dari suatu perkalian kartesian antara dua himpunan tersebut adalah perkalian antara kardinalitas masing-masing himpunan. Dengan demikian, jika A dan B merupakan himpunan berhingga, maka:
|A × B| = |A| . |B|
Pasangan terurut (a, b) berbeda dengan (b, a), dengan kata lain (a, b) ≠ (b, a). Dengan argumen ini berarti perkalian kartesian tidak komutatif, yaitu
A × B ≠ B × A
dimana A atau B bukan himpunan kosong. Jika A = ∅ atau B = ∅, maka
A × B = B × A = ∅
Hukum-hukum yang berlaku untuk operasi himpunan adalah sebagai berikut:
1. Hukum identitas:
2. Hukum null/dominasi:
3. Hukum komplemen:
4. Hukum idempoten:
5. Hukum involusi:
6. Hukum penyerapan (absorpsi):
- A ∪ (A ∩ B) = A
- A ∩ (A ∪ B) = A
7. Hukum komutatif:
- A ∪ B = B ∪ A
- A ∩ B = B ∩ A
8. Hukum asosiatif:
- A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C
- A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C
9. Hukum distributif:
- A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
- A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
10. Hukum De Morgan:
11. Hukum komplemen:
