Di sekolah tingkat SMA/SMK sederajat, kita sering diberikan kasus sederhana seperti 2 atau 3 persamaan dan 2 atau 3 bilangan yang diketahui untuk diselesaikan dengan cara menggunakan Metode Eliminasi atau Metode Substitusi. Namun kali ini, di tingkat Pendidikan Tinggi kita diminta untuk menyelesaikan persamaan-persamaan tersebut menggunakan Determinan Matriks atau Aturan Cramer. Berikut Teorema yang berhasil kami sajikan:
Determinan dan Aturan Cramer
Jika AX = B adalah sistem yang terdiri dari n persamaan linier dalam n bilangan tak diketahui sehingga det(A) ≠ 0, maka sistem tersebut mempunyai pemecahan yang uniq. Pemecahan ini adalah:
dimana Aj adalah matriks yang kita dapatkan dengan menggantikan entri-entri dalam kolom ke-j dari A dengan entri-entri dalam matriks.
Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh berikut ini. Carilah solusi dari persamaan dibawah ini menggunakan aturan cramer.
x1 + 2x3 = 6
-3x1 + 4x2 + 6x3 = 30
-x1 -- 2x2 + 3x3 = 8
ubah terlebih dahulu kedalam bentuk matriks
Karena bilangan takdiketahui atau solusinya ada 3, berarti kita bentuk matriks A1, A2 dan A3. Dengan matriks A1 dibentuk dari matriks A dengan mengganti entri-entri kolom pertama pada matriks A dengan nilai-nilai pada sebelah kanan sama dengan ( = ) di persamaan diatas yaitu:
Kemudian untuk membentuk matriks A2, kita mengganti entri-entri kolom kedua matriks A dengan
begitu juga untuk membentuk matriks A3 yaitu mengganti entri-entri pada kolom ketiga. Sehingga diperoleh A1, A2 dan A3 seperti dibawah ini;
Untuk menghitung determinan pada matriks A, A1, A2 dan A3 dapat menggunakan Determinan Menggunakan Kofaktor.
Berdasarkan Teorema diatas, maka diperoleh:
Sumber:
Anton, H., 1992, Aljabar Linier Elementer, Erlangga, Jakarta.
