Inverse (kebalikan) Matriks memiliki sifat-sifat dasar, namun sebelum itu, terlebih dahulu kita mengenal beberapa jenis matriks yang akan dipakai secara langsung.
Sebuah matriks dikatakan matriks nol, jika semua anggota dari matriks tersebut adalah nol, sedangkan ukuran dari matriks nol tersebut tergantung pada matriks kawannya.
Mengenal Invers Matriks
CONTOH 1:
Contoh beberapa matriks nol dengan beberapa ukuran yang berbeda
Jika matriks sebarang A dan matriks nol 0 dengan ukuran yang sama, jelas bahwa A + 0 = 0 + A = A, sama seperti bilangan real a + 0 = 0 + a = a. Tiga bilangan a, b dan c semuanya tidak nol, jika ab = ac, maka b = c, begitu juga untuk dua bilangan yang berbeda, jika de =, maka salah satu bilangan tersebut harus nol. Hal ini tidak berlaku pada matriks.
CONTOH 2:
berlaku
Padahal matriks B tidak sama dengan matriks C, begitu juga AD = 0, salah satu dari matriks tersebut tidak harus nol.
Matriks identitas adalah matriks persegi yang anggotanya semua nol kecuali pada diagonal utama semuanya bilangan satu, biasanya disimbol dengan In, dimana n adalah ukuran matriksnya.
CONTOH 3:
Beberapa contoh matriks identitas
Matriks sebarang A jika dikalikan dengan matriks identitas atau sebaliknya (dapat dilakukan), hasilnya adalah matriks A sendiri, atau ditulis AI = IA = A
CONTOH 4:
Misalkan matriks
maka
begitu juga
TEOREMA 1 - Jika matriks persegi A dilakukan OBE pada matriks tersebut sehingga menjadi matriks yang berbentuk baris eselon tereduksi yaitu R, maka R adalah matriks yang mempunyai baris nol semua atau matriks identitas.
Bukti:
Perhatikan matriks persegi A, kemudian lakukan OBE, setiap satu diagonal utama yang dihasilkan, maka pada kolom tersebut, baris - barisnya nol semua. Jika dilakukan terus, maka yang dihasilkan adalah matriks identitas atau matriks yang mengandung baris yang nol semua.
CONTOH 5:
lakukan operasi baris elementer, sehingga
Pada bagian ini akan dibahas tentang invers dari suatu matriks, sebelumnya perhatikan definisi invers dibawah ini
TEOREMA 2 - Jika A matriks persegi dan jika matriks persegi lain yang dapat ditemukan B berukuran sama, sedemikian hingga berlaku AB = BA = I, maka A disebut matriks yang dibalik atau matiks yang punyai invers dan matriks B disebut invers dari matriks A.
CONTOH 6:
karena
dan
Sekarang perhatikan teorema berikut
TEOREMA 3 - Jika B dan C keduanya adalah invers dari matriks A, maka B = C
Bukti:
Karena B invers dari A, maka AB = I. Kalikan kedua sisi dengan C, sehingga C (AB) = CI = C, sedangkan (CA)B = IB = B, jadi B = C
TEOREMA 4 - Jika matriks A dan B adalah matriks yang mempunyai invers dan beukuran sama, maka;
- AB juga mempunyai invers
(AB)*-1* = B*-1*A*-1*
Bukti:
Dengan mengalikan kedua sisi dengan AB, maka
CONTOH 7:
maka dapat ditemukan
sedangkan
Beberapa sifat yang tersirat pada definisi dan teorema (bukti cari di buku lain) yang dapat dipakai untuk menambah wawasan, antara lain
TEOREMA 5 - Jika matriks persegi A, maka dapat didefiniskan
jika A mempunyai invers, didefinisikan
TEOREMA 6 - Jika matriks persegi A, dan r; s bilangan bulat, maka
TEOREMA 7 - Jika A matriks yang mempunyai invers, maka
CONTOH 8:
mengadopsi dari matriks pada Contoh 1.4.7, yaitu
maka
dan
TEOREMA 8 - Jika matrisk A mempunyai invers, maka AT juga mempunyai invers dan
CONTOH 9:
mengadopsi dari matriks pada Contoh 1.4.7, yaitu
maka
seperti pada Teorema 8.
