Persamaan linear adalah persaman yang tidak melibatkan hasil kali atau akar variabel, semua variabel mempunyai pangkat satu dan bukan sebagai variabel bebas dari fungsi trigonometri, logaritma atau eksponen.
Mengenal Aljabar Linier
Contoh beberapa persamaan linier:
Persamaan (a) yaitu persamaan linear dengan variabel x dan y, dengan koefisien 2 dan 3 yang merupakan persamaan garis. Persamaan (b) yaitu persamaan linear dengan variabel x1, x2 dan x3, dengan koefisien 4, 3 dan 2 yang merupakan persamaan bidang. Sedangkan Persamaan (c) yaitu persamaan linear dengan variabel xi dan koefisien ai dan b dengan i = 1, 2, 3, ...., n.
Contoh beberapa persamaan TIDAK linier:
Persamaan (a) bukan persamaan linear, karena variabel x mempunyai pangkat dua. Persamaan (b) bukan persamaan linear, karena terdapat perkalian dua variabel yaitu x1x2 dan x2 mempunyai pangkat dua, begitu juga Persamaan (c)
Penyelesaian dari persamaan linear adalah pemberian nilai pada variabel yang ada sedemikian sehingga persamaan itu benar . Misal Persamaan 1.1, jika variabel x diberi nilai 0, maka variabel y harus bernilai 2, atau beri nilai sebarang pada x, maka nilai y dapat ditentukan kemudian, nilai sebarang itu misalnya t, sehingga;
Begitu juga untuk Persamaan (b) pada persamaan linier
atau dengan pemberian nilai yang lain, misal
Begitu juga untuk Persamaan (b) pada persamaan linier
Sedangkan persamaan (c) pada persamaan linier akan terpenuhi jika variabel xi dimana i = 1, 2, 3, ...., n. diberi nilai yang sesuai sehingga persamaan linear tersebut memenuhi, misal x1 = s1, x2 = s2,...., xn = sn, maka penyelesaian persamaan linear tersebut adalah pasangan terurut (s1, s2, s3,....,sn). Karena penyelesaian dari persamaan tersebut tidak hanya satu, maka semua penyelesaian dari persamaan terhimpunan dalam himpunan penyelesaian.
Persamaan linear yang lebih dari satu (terhingga) dan variabelnya saling terkait, himpunan persamaan tersebut dinamakan sistem persamaan linear atau sistem linear.
Contoh 1 Sistem linear yang terdiri dari dua persamaan dengan tiga variabel,
Salah satu penyelesaian dari sistem linear tersebut adalah x = 1, y = 2 dan z = -1, karena nilai tersebut memenuhi kedua persamaan, sedangkan penyelesaian yang lain, x = 2, y = -1 dan z = -1 bukan penyelesaian dari sistem tersebut, sebab nilai tersebut memenuhi persamaan yang kedua, tetapi tidak memenuhi persamaan pertama.
Contoh 2 Sistem linear yang terdiri dari dua persamaan dengan dua variabel,
Hanya satu penyelesaian dari sistem linear tersebut, x = 4 dan y = 1, karena tidak ditemukan penyelesaian yang lain.
Contoh 3 Sistem linear yang terdiri dari dua persamaan dengan dua variabel,
Sistem linear tersebut tidak konsisten, karena jika persamaan pertama dikalikan dengan tiga, kedua persamaan tersebut tidak konsisten, sehingga sistem linear tersebut tidak mempunyai penyelesaian.
Secara umum, ada tiga kemungkinan penyelesaian dari sistem persamaan linear, yang dapat diilustrasikan sebagai dua persamaan garis, yaitu;
Tiga Macam Penyelesaian Sistem Linear
- Sistem linear mempunyai satu penyelesaian, jika dua garis tersebut berpotongan pada satu titik. Lihat Gambar (a)
- Sistem linear mempunyai banyak penyelesaian, jika dua garis tersebut berimpit. Lihat Gambar (b)
- Sistem linear tidak mempunyai penyelesaian, jika dua garis tersebut sejajar . Lihat Gambar (c)
Sebarang sistem persamaan linear dengan m persamaan dan n variabel dapat ditulis sebagai berikut:
dengan xi adalah variabel dan aij dan bj adalah koefisien konstanta dengan i = 1, 2, 3, ..., m dan j = 1, 2, 3, ..., n.
Dapat juga ditulis ke dalam bentuk matriks, yaitu;
Dapat juga ditulis ke dalam bentuk singkat, yaitu;
Pada proses pencarian penyelesaian dari sistem linear tersebut, biasanya tanda +, x dan = dihilangkan sehingga terbentuk suatu matriks yan glebih singkat yang dinamakan matriks diperbesar (augmented matrix), yaitu matriks A dan mariks b digabung jadi satu kesatuan matriks, hasilnya;
Sistem Linear Homogen
Suatu sistem dikatakan linear homogen, jika matriks b diganti dengan matriks 0, atau sistem tersebut mempunyai bentuk
Sistem ini mempunyai penyelesaian trivial jika x1 = x2 = x3 = ..... = xn = 0 dan mempunyai penyelesaian tak trivial jika sistem mempunyai penyelesaian selain itu.
