1. Multi Set
Himpunan yang unsurnya boleh berulang (tidak harus berbeda) disebut multi set (himpunan ganda).
Contoh himpunan ganda:
- A = {1, 1, 1, 2, 2, 3},
- B = {2, 2, 2},
- C = {2, 3, 4},
- D = {}.
Multi sets & Fuzzy sets
Multiplisitas dari suatu unsur pada multi set adalah jumlah kemunculan unsur tersebut pada multi set tersebut.
Contoh multiplisitas:
M = { 1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 1 }, multiplisitas 1 adalah 4 dan multiplisitas 2 adalah 3, sementara itu multiplisitas 3 adalah 2.
Himpunan (set) merupakan contoh khusus dari suatu multiset, yang dalam hal ini multiplisitas dari setiap unsurnya adalah 0 atau 1. Himpunan yang multiplisitas dari unsurnya 0 adalah himpunan kosong.
Misalkan P dan Q adalah multiset, operasi yang berlaku pada dua buah multi set tersebut adalah sebagai berikut:
a.) P ∪ Q merupakan suatu multiset yang multiplisitas unsurnya sama dengan multiplisitas maksimum unsur tersebut pada himpunan P dan Q.
Contoh:
- P = { a, a, a, c, d, d } dan
- Q ={ a, a, b, c, c }, maka
- P ∪ Q = { a, a, a, b, c, c, d, d }
b.) P ∩ Q adalah suatu multiset yang multiplisitas unsurnya sama dengan multiplisitas minimum unsur tersebut pada himpunan P dan Q.
Contoh:
- P = { a, a, a, c, d, d }, dan
- Q = { a, a, b, c, c }, maka
- P ∩ Q = { a, a, c }
c.) P -- Q adalah suatu multiset yang multiplisitas unsurnya sama dengan multiplisitas unsur tersebut pada P dikurangi multiplisitasnya pada Q, ini berlaku jika selisih multiplisitas tersebut adalah positif. Jika selisihnya nol atau negatif maka multiplisitas unsur tersebut adalah nol.
Contoh:
- P = { a, a, a, b, b, c, d, d, e }, dan
- Q = { a, a, b, b, b, c, c, d, d, f }, maka
- P -- Q = { a, e }
d.) P + Q, yang didefinisikan sebagai jumlah (sum) dua buah himpunan ganda, adalah suatu multiset yang multiplisitas unsurnya sama dengan penjumlahan dari multiplisitas unsur tersebut pada P dan Q.
Contoh:
- P = { a, a, b, c, c }, dan
- Q = { a, b, b, d }, maka
- P + Q = { a, a, a, b, b, b, c, c, d }
2. Fuzzy set
Misalkan, U merupakan himpunan semesta pembicaraan (Universal Set). Crisp Set merupakan himpunan bagian dari U yang membedakan antara anggota dan bukan anggotanya dengan batasan yang jelas (pasti).
Contoh Fuzzy set:
A = {x | x ∈ Z dan x > 2} atau A = {3, 4, 5, ...}
Jelas bahwa 3 ∈ A dan 1∉ A
Pada suatu Fuzzy set, anggotanya mempunyai nilai keanggotaan tertentu yang ditentukan oleh membership function (fungsi keanggotaan). Fungsi keanggotaan mempunyai kisaran antara nol dan satu. Notasi dari fungsi keanggotaan adalah μA(x) = [0,1]
Contoh:
A = {5, 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80} , merupakan crisp set umur dalam tahun.
Fuzzy set "balita", "dewasa", "muda", dan "tua" adalah subset dari A.
Tabel 1.2. Kelompok Umur Terhadap Kriteria dalam Fuzzy Set
| Elemen | Balita | Anak-anak | Muda | Dewasa | Tua |
|--------|--------|-----------|------|--------|-----|
| 5 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 |
| 10 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 |
| 20 | 0 | 0.2 | 0.8 | 0.8 | 0.1 |
| 30 | 0 | 0 | 0.5 | 1 | 0.2 |
| 40 | 0 | 0 | 0.2 | 1 | 0.4 |
| 50 | 0 | 0 | 0.1 | 1 | 0.6 |
| 60 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0.8 |
| 70 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 80 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
Dari tabel di atas perhatikan bahwa:
- Balita = { }
- Anak-anak = {5, 10, 20} dengan fungsi keanggotaan μAnak-anak = {1, 1, 0.2}
- Muda = {5, 10, 20, 30, 40, 50} dengan fungsi keanggotaan μMuda = {1, 1, 0.8, 0.5, 0.2, 0.1}
- Dewasa = {20, 30, 40, 50, 60, 70, 80} dengan fungsi keanggotaan μDewasa = {0.8, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1}
- Tua = {20, 30, 40, 50, 60, 70, 80} dengan fungsi keanggotaan μTua = {0.1, 0.2, 0.4, 0.6, 0.8, 1, 1}
Ada beberapa cara menyatakan fuzzy set yaitu:
Ada beberapa cara (yang biasa dipakai) dalam menentukan fungsi keanggotaan (membership function) suatu fuzzy set, antara lain:
1. Fungsi Sigmoid
Fungsi sigmoid
2. Fungsi Phi
Pada fungsi keanggotaan ini, hanya terdapat satu nilai x yang memiliki derajat keanggotaan yang sama dengan 1, yaitu ketika x = c. Nilai-nilai di sekitar c memiliki derajat keanggotaan yang masih mendekati 1.
Fungsi phi
3. Fungsi Segitiga
Fungsi segitiga
4. Fungsi Trapesium
Fungsi trapesium
Beberapa operasi dasar pada Fuzzy set adalah:
1. Komplemen (Complement):
Contoh :
μA(x) untuk Tua = {0/5, 0/10, 0.1/20, 0.2/30, 0.4/40, 0.6/50, 0.8/60, 1/70, 1/80}
μA(x) = Tidak Tua
= {1/5, 1/10, 0.9/20, 0.8/30, 0.6/40, 0.4/50, 0.2/60, 0/70, 0/80}
2. Gabungan (Union / Disjunction):
Contoh:
3. Irisan (Intersection /Conjunction):
Contoh:
