Sebagaimana telah diketahui bahwa dalam fungsi selalu terdapat himpunan asal (domain) dan himpunan hasil (range). Fungsi boolean adalah fungsi yang melibatkan operasi dalam aljabar boolean, disamping itu domain dan range berasal dari himpunan S.
Boolean Figure
Bentuk Fungsi
Fungsi Boolean terkadang memiliki bentuk yang berbeda, akan tetapi sebenarnya sama. Salah satu upaya untuk membandingkan, fungsi dibawa ke bentuk standard. Bentuk standard fungsi boolean ini dikenal dengan istilah KANONIK. Ada dua macam bentuk kanonik:
1. SOP (Sum Of Product) / Penjumlahan dari hasil kali
Pada bentuk ini fungsi dinyatakan dengan penjumlahan dari hasil perkalian literal-literal fungsi. Masing-masing suku yang dijumlahkan disebut minterm. Dalam penulisan, minterm disimbolkan dengan huruf m kecil diberi indeks angka yang menunjukkan perkalian literal yang diwakilinya. Contohnya : f(x,y)= x'.y' + x.y' dapat ditulis sebagai m0 + m2. Suku x'.y' ditulis dengan indeks 0 karena jika literal dikomplemenkan artinya menunjukkan angka 0, sehingga x'.y'= 00 biner, dalam desimal ditulis 0. Suku x.y' menunjukkan angka 10 biner, sehingga indeksnya adalah 2 karena 10 salam biner sama dengan 2 dalam desimal. Demikian seterusnya, aturan semacam ini berlaku juga untuk literal yang lebih banyak.
2. Bentuk POS (Product Of Sum) / Perkalian dari hasil jumlah
Pada bentuk ini fungsi dinyatakan dengan perkalian dari hasil penjumlahan literal-literal fungsi. Masing-masing faktor yang dikalikan disebut maxterm. Dalam penulisan, maxterm disimbolkan dengan huruf M kapital diberi indeks angka yang menunjukkan penjumlahan literal yang diwakilinya. Contohnya : f(x,y)= (x+y).( x'+y) dapat ditulis sebagai M0 . M2. Faktor x+y ditulis dengan indeks 0 karena jika literal tidak dikomplemenkan artinya menunjukkan angka 0, sehingga x+y = 00 biner, dalam desimal ditulis 0. Faktor x'+y menunjukkan angka 10 biner, sehingga indeksnya adalah 2 karena 10 dalam biner sama dengan 2 dalam desimal. Demikian seterusnya, aturan semacam ini berlaku juga untuk literal yang lebih banyak.
Contoh:
1. SOP
f(x, y, z) = x'y'z + xy'z' + xyz
(Setiap suku (term) disebut minterm)
2. POS
g(x, y, z) = (x + y + z)(x + y' + z)(x + y' + z')
= (x' + y + z')(x' + y' + z)
(Setiap suku (term) disebut maxterm)
Note: Setiap minterm atau maxterm mengandung literal lengkap.
Minterm & Maxterm Fungsi Boolean Dua Peubah
| x | y | Minterm | | Maxterm | |
|---|---|---------|---------|---------|---------|
| | | Suku | Lambang | Suku | Lambang |
| 0 | 0 | x’y’ | m0 | x + y | M0 |
| 0 | 1 | x’y | m1 | x + y’ | M1 |
| 1 | 0 | x y’ | m2 | x’ + y | M2 |
| 1 | 1 | x y | m3 | x’ + y’ | M3 |
Minterm & Maxterm Fungsi Boolean Tiga Peubah
| x | y | z | Minterm | | Maxterm | |
|---|---|---|---------|---------|------------|---------|
| | | | Suku | Lambang | Suku | Lambang |
| 0 | 0 | 0 | x’y’z’ | m0 | x + y + z | M0 |
| 0 | 0 | 1 | x’y’z | m1 | x + y + z’ | M1 |
| 1 | 1 | 0 | x‘y z’ | m2 | x + y’+z | M2 |
| 1 | 1 | 1 | x’y z | m3 | x + y’+z’ | M3 |
| 0 | 0 | 0 | x y’z’ | m4 | x’+ y + z | M4 |
| 0 | 0 | 1 | x y’z | m5 | x’+ y + z’ | M5 |
| 1 | 1 | 0 | x y z’ | m6 | x’+ y’+ z | M6 |
| 1 | 1 | 1 | x y z | m7 | x’+ y’+ z’ | M7 |
SOP dan POS
- Suatu fungsi Booelan dapat dibentuk secara aljabar dari tabel kebenaran yang diketahui dengan membentuk minterm/maxterm dari setiap kombinasinya.
- Untuk membentuk SOP, tinjau kombinasi peubah-peubah yang menghasilkan nilai 1.
- Untuk membentuk POS, tinjau kombinasi peubah-peubah yang menghasilkan nilai 0.
Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh-contoh di bawah ini:
Soal 1
f(x,y) = x.y + x' Ubahlah fungsi ini ke bentuk standard SOP maupun POS!
Penyelesaian 1
Pertama yang kita lakukan adalah membuat tabel kebenaran fungsi dengan baris sebanyak 2n, dimana n adalah banyaknya variabel.
| x | y | No Indeks | x.y | x’ | f(x,y) |
|---|---|-----------|-----|----|--------|
| 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 2 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 3 | 1 | 0 | 1 |
Untuk mendapatkan bentuk SOP, ambil baris fungsi yang bernilai 1, berdasarkan tabel di atas maka:
f(x,y) = x'y' + xy' + xy
= m0 + m2 + m3
= Σ (0, 1, 3)
Untuk bentuk POS, yang dipilih adalah baris fungsi yang bernilai 0, berdasarkan tabel maka bentuk POS fungsi adalah:
f(x,y) = (x' + y)
= M2
= Π(2)
Soal 2
Nyatakan tabel kebenaran di bawah ini dalam bentuk kanonik SOP dan POS
| x | y | z | f(x, y, z) |
|---|---|---|------------|
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
Penyelesaian 2
1. SOP
Kombinasi nilai-nilai peubah yang menghasilkan nilai fungsi sama dengan 1 adalah 001, 100, dan 111
Fungsi Booleannya dalam bentuk kanonik SOP adalah:
f(x, y, z) = x'y'z + xy'z' + xyz
Atau dengan menggunakan lambang (minterm):
f(x, y, z) = m1 + m4 + m7 = Σ (1, 4, 7)
Ilustrasi
| x | y | z | f(x, y, z) |
|---|---|---|------------|
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
2. POS
Kombinasi nilai-nilai peubah yang menghasilkan nilai fungsi sama dengan 0 adalah 000, 010, 011, 101, dan 110
Fungsi Booleannya dalam bentuk kanonik POS adalah:
f(x, y, z) = (x + y + z)(x + y'+ z)(x + y'+ z')
= (x'+ y + z')(x'+ y'+ z)
Atau dengan menggunakan lambang (maxterm):
f(x, y, z) = M0 M2 M3 M5 M6 = Π(0, 2, 3, 5, 6)
Ilustrasi
| x | y | z | f(x, y, z) |
|---|---|---|------------|
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
Komplemen Fungsi
Komplemen fungsi dapat diperoleh dengan dua cara:
1. Menerapkan hukum De Morgan
2. Menggunakan prinsip dualitas, dengan langkah-langkah:
- Carilah bentuk dual fungsi.
- Komplemenkan tiap literal.
Contoh:
Tentukan komplemen dari F = x.(y'.z' + y.z) !
Cara 1
F = x.(y'.z' + y.z)
F' = [x.(y'.z' + y.z)]'
= x' + (y'.z' + y.z)'
= x' + (y'.z')'.(y.z)'
= x' + (y+z).(y'+z')
Cara 2
F = x.(y'.z' + y.z)
Dual = x + (y'+z').( y+z)
F' = x' + (y+z).(y'+z')
