Aljabar Boole adalah salah satu aljabar yang berkaitan dengan variabel-variabel biner dan operasi-operasi logika. Variabel-variabel dalam aljabar boole dinyatakan dengan huruf-huruf seperti : A, B, C, ..., X, Y, Z. Sedangkan dalam aljabar Boolean terdapat 3 operasi logika dasar yaitu : AND, OR dan NOT (Komplemen).
Penemu Aljabar Boolean
Sebuah fungsi Boolean adalah sebuah ekspresi aljabar yang dibentuk dengan variabel-variabel biner, simbol-simbol operasi logika, tanda kurung dan tanda "=". Untuk sebuah nilai yang diberikan pada variabel , fungsi Boolean dapat bernilai 1 atau 0.
Contoh fungsi Boolean:
f = X + Y'.Z
- Fungsi f sama dengan 1 jika X = 1 atau jika kedua nilai Y' dan Z = 1.
- f = 0 dalam hal lain.
Tetapi kita juga dapat menyatakan bahwa jika Y' = 1, maka Y = 0, karena Y' adalah komplemen dari Y. Secara ekuivalen dapat dinyatakan bahwa:
f = 1, jika X = 1 atau Y.Z = 0.1
Hubungan antar sebuah fungsi dengan variabel-variabel binernya dapat disajikan dalam bentuk sebuah Tabel Kebenaran (Truth Table). Untuk menyajikan sebuah fungsi dalam sebuah tabel kebenaran, kita membutuhkan sebuah daftar 2n kombinasi 1 dan 0 dari n buah variabel biner.
Contoh:
f = X + Y' . Z
∑ variabel = 3 (X, Y' dan Z)
2n = 23 = 8 kombinasi 0 dan 1.
Maka tabel kebenarannya adalah sebagai berikut:
| X | Y | Y’ | Z | Y‘.Z | f = X + Y’ . Z |
|---|---|----|---|------|------------------|
| 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 |
Sebuah fungsi Boolean dapat diubah menjadi sebuah diagram logika yang terdiri dari gerbang-gerbang logika.
Contoh:
f = X + Y' . Z
Diagram logikanya:
Kegunaan dari aljabar Boolean adalah memberikan fasilitas penulisan dalam perancangan rangkaian digital. Aljabar Boole menyediakan alat untuk dibuat:
- Mengekspresikan dalam bentuk aljabar sebuah tabel kebenaran yang merupakan hubungan antara variabel-variabel,
- Mengekspresikan dalam bentuk aljabar hubungan input dan output diagram logika,
- Mendapatkan rangkaian-rangkaian yang lebih sederhana untuk fungsi yang sama.
Relasi-Relasi Dasar Aljabar Boolean
| 1. X + 0 = X | 7. X + X’ = X | 13. X.(Y+Z) = X.Y + X.Z |
|---------------|-------------------------|-------------------------------|
| 2. X + 1 = 1 | 8. X . X’ = 0 | 14. X + Y.Z = (X+Y) . (X+Z) |
| 3. X . 0 = 0 | 9. X + Y = Y + X | 15. (X + Y)’ = X’ . Y’ |
| 4. X . 1 = X | 10. X . Y = Y . X | 16. (X.Y)’ = X’ + Y’ |
| 5. X + X = X | 11. X+(Y+Z) = (X+Y)+Z | 17. (X’)’ = X |
| 6. X . X = X | 12. X.(Y.Z) = (X.Y).Z | 18. X.(X+Y) = X |
| | | 19. X + (X.Y) = X |
Keterangan:
- Relasi (1), (2), (3) dan (4) disebut dengan Hukum penjalinan dengan konstanta.
- Relasi (5) dan (6) disebut Hukum perluasan.
- Relasi (7) dan (8) disebut Hukum komplementasi
- Relasi (9) dan (10) disebut Hukum komutatif.
- Relasi (11) dan (12) disebut Hukum asosiatif.
- Relasi (13) dan (14) disebut Hukum distributif.
- Relasi (14) tidak dapat digunakan dalam aljabar biasa, tetapi relasi ini sangat berguna dalam memanipulasi ekspresi-ekspresi aljabar boole.
- Relasi (15) dan (16) disebut Dalil de Morgan.
- Relasi (17) menyatakan jika suatu variabel dikomplemenkan sebanyak dua kali maka akan didapat nilai asli dari variabel tersebut.
- Relasi (18) dan (19) disebut Hukum absorpsi.
Definisi Aljabar Boolean
Aljabar adalah sistem aljabar pada suatu himpunan S dengan dua operasi yaitu penjumlahan ( + ) dan perkalian ( . ) yang didefinisikan pada himpunan tersebut.
Misalkan terdapat:
- Dua operator biner: + dan ⋅
- Sebuah operator uner: '.
- B : himpunan yang didefinisikan pada operator +, ⋅, dan '
- 0 dan 1 adalah dua elemen yang berbeda dari B.
Clue:
(B, +, ⋅, ’)
Maka, disebut Aljabar Boolean jika untuk setiap a, b, c ∈ B berlaku aksioma-aksioma atau postulat Huntington atau hukum-hukum berikut:
Hukum-Hukum Aljabar Boolean
1. Closure:
- (i) a + b ∈ B
- (ii) a ⋅ b ∈ B
2. Identitas:
- (i) a + 0 = a
- (ii) a ⋅ 1 = a
3. Idempoten:
- (i) a + a = a
- (ii) a ⋅ a = a
4. Komplemen:
- (i) a + a' = 1
- (ii) aa' = 0
5. Dominansi:
- (i) a ⋅ 0 = 0
- (ii) a + 1 = 1
6. Involusi:
7. Penyerapan:
- (i) a + ab = a
- (ii) a(a + b) = a
8. Komutatif:
- (i) a + b = b + a
- (ii) ab = ba
9. Asosiatif:
- (i) a + (b + c) = (a + b) + c
- (ii) a (b c) = (a b) c
10 Distributif:
- (i) a + (b c) = (a + b) (a + c)
- (ii) a (b + c) = a b + a c
11. De Morgan:
- (i) (a + b)' = a'b'
- (ii) (ab)' = a' + b'
12. Hukum 0/1:
Contoh:
Buktikan (i) a + a'b = a + b dan (ii) a(a' + b) = ab
Penyelesaian:
(i) a + a'b = (a + ab) + a'b (Penyerapan)
= a + (ab + a'b) (Asosiatif)
= a + (a + a')b (Distributif)
= a + 1 - b (Komplemen)
= a + b (Identitas)
(ii) adalah dual dari (i)
Prinsip Dualitas
Jika suatu kesamaan aljabar boolean B benar maka dual dari B ,diperoleh dengan cara mengganti setiap + dengan . atau sebaliknya dan mengganti 1 dengan 0 atau juga sebaliknya, juga bernilai benar.
Aplikasi Aljabar Boolean
A. Jaringan Pensaklaran (Switching Network)
Saklar, yaitu objek yang mempunyai dua buah keadaan; buka dan tutup. Tiga bentuk gerbang paling sederhana:
1. Output b hanya ada jika dan hanya jika x dibuka ⇒ x
2. Output b hanya ada jika dan hanya jika x dan y dibuka ⇒ xy
3. Output c hanya ada jika dan hanya jika x atau y dibuka ⇒ x + y
B. Rangkaian pensaklaran pada rangkaian listrik:
1. Saklar dalam hubungan SERI: logika AND
2. Saklar dalam hubungan PARALEL: logika OR
