Bentuk Sum of Product & Diagram Logika

bundet

Misalnya kita akan membuat fungsi yang lebih kompleks daripada sekedar gerbang logika sederhana, seperti fungsi mayoritas yang tertera sebagai tabel kebenaran pada Gambar 2.16. Fungsi mayoritas akan benar jika lebih dari separo masukan bernilai benar. Fungsi ini sering digunakan pada pembetulan kesalahan dengan menganggap bahwa nilai yang paling banyak muncul sebagai nilai hasil, atau kadang disebut pula sebagai fungsi voting.

Karena pembahasan sampai di sini belum ada gerbang sederhana yang dapat digunakan secara langsung untuk implementasi fungsi mayoritas, maka kita akan melakukan transformasi dari persamaan AND-OR dua-level dan mengimplementasikannya dalam bentuk gerbang logika dari himpunan {AND, OR, NOT} (misalnya). Disebut persamaan dua-level karena ada satu level bentuk AND dilanjutkan dengan satu level bentuk OR. Fungsi Boolean untuk mayoritas ini bernilai benar jika nilai F pada tabel kebenaran bernilai benar. Dengan demikian F akan benar untuk nilai A = 0,B = 1, dan C = 1, atau A = 1,B = 0, dan C = 1, dan seterusnya seperti dalam tabel.

Gambar 2.16: Tabel kebenaran untuk fungsi mayoritas

Salah satu cara untuk menuliskan persamaan logika adalah dengan menggunakan bentuk sum-of-product atau SOP, yang merupakan kumpulan AND dari variabel yang terlibat kemudian dioperasikan dengan OR. Bentuk persamaan logika untuk fungsi mayoritas tertulis pada Persamaan 2.1. Tanda ’+’ berarti operasi OR dan bukan penambahan secara aritmetika.

Dengan mengamati persamaan tersebut kita dapat menentukan bahwa diperlukan 4 buah AND untuk implementasi suku perkalian Keluaran dari gerbang AND kemudian dihubungkan ke masukan gerbang OR 4-masukan seperti Gambar 2.17. Rangkaian ini menunjukkan fungsi mayoritas, dan kita dapat mengeceknya dengan memasukkan semua kombinasi yang mungkin untuk masukan dan mengamati hasilnya.

Jika setiap suku mengandung tepat masing-masing variabel 1 kali, dalam bentuk komplemen atau bukan, maka suku ini disebut minterm. Minterm mempunyai nilai 1 dalam keluaran tabel kebenaran. Dengan demikian minterm adalah minimum term yang menghasilkan benar. Sebagai alternatif fungsi dapat ditulis dalam bentuk jumlahan dari kombinasi yang benar. Persamaan 2.1 dapat ditulis ulang menjadi persamaan 2.2 dengan indeks adalah minterm indeks seperti Gambar 2.16.

Notasi ini digunakan secara resmi sebagai persamaan Boolean karena hanya berisi minterm saja. Persamaan 2.1 dan 2.2 disebut sebagai notasi resmi untuk bentuk SOP.

Gambar 2.17: Implementasi fungsi mayoritas dengan dua-level AND-OR. Inverter tidak dihitung sebagai level

bundet

Bentuk Product of Sum

Sebagai pasangan dari bentuk sum-of-product, persamaan Boolean dapat direpresentasikan dalam bentuk product-of-sum (POS). Persamaan dalam bentuk POS berupa koleksi rangkaian OR yang keluarannya dihubungkan bersama dengan gerbang AND. Salah satu cara untuk membentuk POS adalah dengan jalan melakukan komplemen terhadap bentuk SOP, dan kemudian diterapkan teorema DeMorgan. Sebagai contoh, lihat kembali fungsi mayoritas dalam bentuk tabel kebenaran di Gambar 2.16, bentuk komplemennya adalah baris-baris yang menghasilkan keluaran 0, seperti persamaan 2.3:

Dilakukan komplemen pada kedua ruas didapat persamaan 2.4:

Penerapan teorema DeMorgan yang berbentuk didapat persamaan 2.5:

Penerapan teorema DeMorgan yang berbentuk pada faktor dalam kurung didapat persamaan 2.6

Gambar 2.18: Rangkaian OR-AND dua-level implementasi dari fungsi mayoritas. Inverter tidak dihitung sebagai level

Persamaan 2.6 berbentuk POS, dan berisi 4 maxterms, yang membolehkan setiap variabel muncul tepat 1 kali dalam bentuk komplemen maupun tidak. Maxterm, misalnya (A + B + C), mempunyai nilai 0 untuk satu baris dalam tabel kebenaran. Persamaan yang hanya berisi maxterm dalam bentuk POS dikatakan sebagai persamaan product-of-sum. Rangkaian OR-AND sebagai implementasi dari persamaan 2.5 tampak pada Gambar 2.18.

Salah satu motivasi penggunaan POS daripada SOP adalah jika menghasilkan bentuk persamaan Boole yang lebih sederhana. Persamaan Boole yang lebih sederhana dapat menghasilkan rangkaian yang lebih sederhana, namun ini tidak pasti karena ada sejumlah faktor yang tidak tergantung langsung pada ukuran persamaan Boole, seperti kompleksitas topologi perkawatan.

Cacah gerbang adalah ukuran kompleksitas rangkaian yang menunjukkan cacah semua gerbang logika yang digunakan. Cacah masukan gerbang adalah ukuran lain kompleksitas rangkaian yang menunjukkan jumlah masukan ke semua gerbang logika. Untuk rangkaian pada Gambar 2.17 dan Gambar 2.18, cacah gerbang adalah 8 dan cacah masukan gerbang adalah 19 untuk bentuk SOP dan POS. Dalam kasus ini tidak ada perbedaan kompleksitas rangkaian antara bentuk SOP dan POS, tetapi untuk kasus lain perbedaannya menjadi nyata. Ada banyaj variasi metode untuk mereduksi kompleksitas rangkaian digital, beberapa di antaranya dibahas pada Bab 4.