Tabel 2.1 merangkum sebagian dari sifat-sifat aljabar Boole yang dapat diterapkan pada ekspresi logika Boole. Postulat (dikenal sebagai postulat Huntington) merupakan aksioma dasar untuk aljabar Boole dan tidak memerlukan pembuktian. Teorema dapat dibuktikan melalui postulat. Setiap relasi dalam tabel mempunyai bentuk AND dan OR sebagai hasil dari prinsip dualisme. Bentuk dualisme ini memungkinan mengubah bentuk AND menjadi OR dan sebaliknya bentuk OR menjadi AND.
Sifat komutatif menyatakan bahwa urutan kemunculan du avriabel dalam fungsi AND dan OR tidak mengakibatkan hasil yang berbeda. Dengan prinsip dualisme, sifat komutatif mempunyai bentuk AND (AB = BA) dan bentuk OR (A + B = B + A). Sifat distributif menunjukkan bagiaman variabel didistribusikan melalui operasi AND. Karena prinsip dualisme juga maka ada sifat distributif untuk OR.
Sifat identitas menunjukkan bahwa variabel yang di-AND-kan dengan 1 atau di-OR-kan dengan 0, menghasilkan nilai variabel itu sendiri. Sifat komplemen mengakibatkan bahwa variabel yang dikenakan operasi AND terhadap komplemen variabel tersebut, menghasilkan 0 (karena paling tidak pasti ada 1 operan bernilai 0), dan variabel yang dikenakan operasi OR terhadap komplemennya, menghasilkan nilai 1 (karena pasti ada nilai 1 pada operannya).
Gambar 2.12: Pembuktian teorema DeMorgan untuk 2 variabel
Teorema nol dan satu menyatakan bahwa operasi AND antara variabel dengan 0 akan menghasilkan 0 dan operasi OR antara variabel dengan 1 akan menghasilkan 1. Teorema idempoten menyatakan bahwa operasi AND atau OR antara variabel dengan dirinya sendiri menghasilkan nilai variabel itu sendiri.
Teorema asosiatif menyatakan bahwa urutan operasi AND atau OR tidak mengakibatkan hasil yang berbeda. Teorema involusi menyatakan bahwa komplemen dari komplemen suatu variabel adalah variabel itu sendiri.
Teorema DeMorgan, teorema konsensus, dan teorema absorbsi tidak begitu jelas sehingga kita perlu membuktikannya. Teorema DeMorgan dapat dibuktikan dengan induksi yaitu mendaftar semua kemungkinan nilai 2 variabel A dan B serta fungsi yang dibuktikan seperti Gambar 2.12. Sisi kiri dan kanan dalam ekspresi DeMorgan mempunyai nilai yang sama, inilah buktinya. Untuk teorema konsensus dan absorbsi, silakan dicoba sendiri untuk latihan.
Tidak semua gerbang logika dibicarakan secara mendalam karena berdasarkan 3 himpunan gerbang logika yaitu {AND, OR, NOT}, {NAND}, dan {NOR}, satu himpunan dapat disusun dari gerbang-gerbang pada himpunan lainnya.
Sebagai contoh misalnya implementasi OR dengan menggunakan himpunan {NAND}. Teorema DeMorgan dapat digunakan untuk menyusun gerbang OR dari gerbang NAND seperti Gambar 2.13 dan 2.14. Penjelasannya adalah sebagai berikut:
Untuk mendapatkan inversi (NOT) dari gerbang NAND penjelasannya adalah:
Gambar 2.13: Penyusunan NAND menjadi OR
Gambar 2.14: Implementasi inversi dengan NAND
Fungsi AND dalam {NAND} (Gambar 2.15) dijelaskan sebagai berikut:
Gambar 2.15: Penyusunan NAND menjadi AND
Ekuivalensi di antara fungsi-fungsi logika menjadi penting dalam praktik, karena suatu jenis gerbang logika kemungkinan mempunyai karakteristik yang lebih baik daripada yang lainnya.
